Dado un subespacio vectorial en R^n existen diferentes formas de escribir las ecuaciones que lo definen. En este vídeo se introducen de manera razonada dos de ellas, las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones implícitas.. Se muestra de manera práctica como obtener la ecuaciones paramétricas a partir de una base del subespacio, así como a pasar de las ecuaciones paramétricas a las ecuaciones implícitas.
En este segundo vídeo dedicado a las matrices de cambio de base en R^n se razona como obtener de manera sistemática las matrices de cambio de base entre dos bases cualesquiera A y B de R^n. Para ellos se obtienen formulas explicitas de dichas matrices de cambio en término de las matrices que tiene por columnas los vectores de las distintas bases. Se razona como este proceso se corresponde con considerar como paso intermedio el cambio a la base canónica
Dado un vector v de R^n y dos bases A, B del mismo espacio, en este vídeo se razona como pasar de las coordenadas con respecto de A a las coordenadas con respecto de B, y asimismo del proceso contrario de pasar coordenadas de B a A. En particular, se demuestra que esto se hace a partir de una matrices de cambio de base que son inversas entre sí. En este primer vídeo se incide en el caso en que una de las bases sea la base canónica, en cuyo caso las matrices de cambio de base se pueden calcular de manera directa a partir de las matrices que tienen por columnas los vectores de las distintas base. Aclaramos que en este vídeo hay un pequeño cambio de notación con respecto del libro de texto "Temas de Matemáticas" tal como se explica al final del mismo.
En este vídeo se introduce desde un punto de vista práctico la estructura algebraica de espacio vectorial para el caso concreto de los vectores de R^n. Los subespacio vectoriales son aquellos conjuntos que conservan las operaciones vectoriales. A partir de caracterizar los distintos tipos de subespacios vectoriales que se pueden definir en Rn, se estudian de manera natural las nociones de conjuntos de generadores y base de vectores.
En estos vídeos se interpreta el Teorema de Rouché-Frobenius para resolver sistemas lineales como un problema de encontrar una determinada combinación lineal del vector término independiente en término de los vectores columnas de la matriz del sistema. En este caso se discute el segundo caso cuando un sistema lineal es compatible indeterminado con parámetros si el rango de la matriz del sistema es menor estrictamente del número de incógnitas.
En estos vídeos se interpreta el Teorema de Rouché-Frobenius para resolver sistemas lineales como un problema de encontrar una determinada combinación lineal del vector término independiente en término de los vectores columnas de la matriz del sistema. En este caso se discute el primer caso cuando un sistema lineal es compatible si y solamente si rango de la matriz del sistema coincide con la matriz ampliada. Y compatible determinado si dicho rango coincide con el número de incógnitas.
En este vídeo se introduce el concepto de independencia lineal y de rango de un conjunto de vectores de R^n . Se muestra que el rango de un conjunto de vectores coincide con el rango de la matriz asociada que tiene por columnas los vectores del sistema. Se muestra como estos conceptos nos aparecen de manera natural a la hora de resolver un sistema lineal.
En este vídeo se introduce el concepto de combinación de lineal de vectores de R^n y se relaciona con la resolución de sistemas lineales. Para ello se introduce la notación de vectores columnas que permite representar un conjunto de vectores como una matriz
En este vídeo se introducen de manera breve las dos operaciones, suma de vectores y producto por escalar, que definen la estructura vectorial del espacio R^n.
